Derivada de la Función Tangente Ejercicios y Ejemplos Resueltos

La solución de la derivada de una tangente es una de las más sencillas de entender, siendo una fórmula muy sencilla de memorizar.

La derivada de una tangente es la derivada de un cociente, es decir, la derivada de una fracción ¿por qué? porque la tangente es igual al seno entre el coseno, como lo mostramos aquí:

\tan (x) = \frac{\sin(x)}{\cos (x)}

SOLUCIÓN y fórmula de la derivada de la tangente

\tan (x) = \frac{\sin(x)}{\cos (x)}

\tan '(x) = \sec^2(x)

Cómo hacer la derivada de la función tangente

Para hacer la derivada de una tangente debemos saber hacer la derivada de un cociente, como lo mostramos a continuación:

\tan (x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

\tan´ (x) = (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})´

\tan' (x) = (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})' = \frac{\sin'(x) \cos (x) - \cos'(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}

\tan' (x) = \frac{\cos (x)\cos (x) - (-\sin(x))\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2 (x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

\tan' (x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)

Por lo general, la tangente se nos planteará en funciones compuestas en problemas de derivación, en esos casos nuestra mejor opción es usar la regla de la cadena para así agilizar los cálculos. Un ejemplo del uso de la regla de la cadena para derivar la tangente es:

 \tan'{u(x)} = \sec^2{u(x)}u'(x)

En la fórmula anterior podemos ver que la tangente está combinada con otra función denominada «u».

Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de tangentes

Pasemos a ver algunos ejemplos y ejercicios de derivadas de tangentes para así entender mejor cómo es el procedimiento.

Ejemplo 1:

 g(x) = 3 \tan{(2x)}

Debemos usar la regla de la cadena:

 \tan'{u(x)} = \sec^2{u(x)}u'(x)

Antes de empezar a derivar, definamos las funciones implícitas en el problema y su derivadas:

 u(x) =2x

 u'(x) =2

 f(u) = 3\tan(u)

 f'(u) = [3\tan(u)]' = 3\sec^2u 

Teniendo todos los «eslabones de la cadena», ya podemos montar la solución: Captain Tsubasa Spain

 g'(x) = f'(u)u'(x) = 3\sec^2 (u)(2)= 6\sec^2(2x)

Ejemplo 2:

\displaystyle g(x) = \tan{\sqrt{x}}

Antes de empezar clasifiquemos las funciones implícitas en el problema:

 u(x) =\sqrt{x}

 u'(x) =\frac {1}{2\sqrt{x}}

 f(u) = \tan(u)

 f'(u) =\sec^2 (u) 

La derivada será:

\displaystyle g'(x) = f'(u)u'(x) = \sec^2 (u)\frac {1}{2\sqrt{x}} = \frac {\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 3:

 g(x) = \tan{(\sin{(\sqrt{5x})})}

Este problema consta de una triple composición, entonces debemos aplicar la regla de la cadena hasta tres veces.

Comencemos con:

 g(x) = f(u(x))

 f(u) = \tan{u}

 f'(u) = \sec^2{u}

Ahora que tenemos la primera función y su derivada, definamos la segunda, «u(x)».

u(x) = \sin{(\sqrt{5x})}

Antes de derivar «u(x)», prestemos atención a que se trata de otra función compuesta de la forma:

u(x) = f_1(u_1(x)) 

Donde:

f_1(u_1) = \sin{u_1} 

f_1'(u_1) = \cos{u_1} 

u_1(x) = \sqrt{5x}

Antes de derivar «u1​(x)», notemos que se trata de otra función compuesta:

u_1(x) = f_2(u_2(x))

En donde:

f_2(u_2)= \sqrt{u_2} 

f_2'(u_2)=\frac{1}{ 2\sqrt{u_2}} 

u_2(x) = 5x

u_2'(x) = 5

Escribamos la triple composición para saber bien cómo se sitúan las funciones y las derivaciones de las mismas:

g'(x) = f'(u)u'(x) = f'(u)[f_1'(u_1)u_1'(x)] = f'(u)[f_1'(u_1)[f_2'(u_2)u_2'(x)]]

g'(x) = \sec^2{u} [ \cos{u_1} [ \frac{1}{2\sqrt{u_2}} (5)]]

 g'(x) =\sec^2{(\sin{(\sqrt{5x})})} \left[ \cos{(\sqrt{5x})} \left[ \frac{5}{2\sqrt{5x}} \right] \right]\\

g'(x) = \frac{5 \cos{(\sqrt{5x})}\sec^2{(\sin{(\sqrt{5x})})}}{2\sqrt{5x}}

Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla completa de derivadas. Igualmente puedes ampliar tus conocimientos revisando la derivada del seno y la derivada del coseno.

Derivada de la Función Tangente Ejercicios y Ejemplos Resueltos

La solución de la derivada de una tangente es una de las más sencillas de entender, siendo una fórmula muy sencilla de memorizar.

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2024-10-04

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