Derivada de Funciones con Raíces Ejemplos Resueltos

 

 

 

Ya sea una raíz cuadrada, un raíz cúbica o una raíz de cualquier n, realizar la derivada de una raíz no presenta dificultad si se conoce su fórmula, cómo se llega a ella y los pasos para resolverla.

 

¿Cuál es la derivada de una raíz?

La derivada de una raíz de grado n es igual a la derivada del radicando dividida por el producto del índice de la raíz por la raíz de grado n del radicando elevado a (n-1)

SOLUCIÓN




f(x)=\sqrt[n] {u}




f´(x)=\frac{u´}{n\sqrt[n] {u^{n-1}}}



Como hacer la derivada de una raíz

La resolución de la derivada de una raíz sigue el mismo método que la de una derivada de una potencia, pues hay que tener en cuenta que la raíz enésima es la función inversa de la enésima potencia, es decir:

Partiendo de:


y=x^n

Su equivalente es:


x=y^{1/n}

Es decir, llevado a radicales (raíces):


\sqrt[n] {x}=x^{1/n}

Por tanto, para resolver la derivada de una función con una raíz de radical n: Recetas para Cookeo


f(x)=\sqrt[n] {x}=x^{1/n}


f´(x)=\frac {1} {n}x^{(1/n-1)}

Simplificando la potencia:


(1/n-1)=(1-n)/n

Entonces tenemos:


f´(x)=\frac {x^{(1-n)/n}} {n}=\frac{1}{nx^{(n-1)/n}}=\frac{1}{n\sqrt[n] {x^{n-1}}}

Por tanto, aplicando la regla de la cadena:


\frac{d}{dx}[\sqrt[n] {u}]=\frac{u´}{{n\sqrt[n] {u^{n-1}}}}

Habiendo llegado así a la solución expuesta al inicio.

Formula de la derivada de una raíz cuadrada

A partir de la deducción anterior saber cómo calcular la derivada de una raíz cuadrada es sumamente sencillo:




f(x)=\sqrt[] {u}




f´(x)=\frac{u´}{2\cdot\sqrt[] {u}}



Derivada de una raíz cúbica

Y de la misma forma, para una raíz cúbica:




f(x)=\sqrt[3] {u}




f´(x)=\frac{u´}{3\sqrt[3] {u^{2}}}



Ejemplos de resolución de derivadas de raíces

Para aportar mayor claridad, a continuación se exponen una serie de ejemplos:




f(x)=\sqrt[] {3x-1}




f´(x)=\frac {3} {2\cdot\sqrt[] {3x-1}}






f(x)=\sqrt[5] {5x-7}=(5x-7)^{1/5}




f´(x)=\frac {1} {5}(5x-7)^{(1/5-5/5)}\cdot5=\frac {1} {5}(5x-7)^{-4/5}\cdot5=\frac {1} {\sqrt[5] {(5x-7)^4}}



Si deseas ampliar información revisa nuestra tabla completa de derivadas.

Derivada de Funciones con Raíces Ejemplos Resueltos

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2024-05-20

 

Derivada de Funciones con Raíces Ejemplos Resueltos
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