¿Cuál es la derivada de e? con Ejemplos y Casos Resueltos

 

 

 

Para hacer la derivada de la función exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Se trata de una fórmula simple de fácil aplicación:

SOLUCIÓN y fórmula de la derivada de una función exponencial de base e




f(x)= e^u




f'(x)=u'\cdot e^u



Cómo hacer la derivada exponencial de base e

Para hacer la derivada exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Es una forma tan simple de derivar que probablemente en dos o tres pasos consigamos el resultado.

 

No obstante es importante señalar que en este tipo de derivada hay un caso particular, y es el siguiente:

Derivada de e elevado a x


f(x)= e^x

Donde:




u= x 


u'=1




e ^u= e^x 



Recordemos la fórmula de la derivada de una función exponencial de base «e»:


f'(x)=u'\cdot e^u

Entonces al sustituir nos quedaría:


f'(x)= 1\cdot e^x= e^x

Por ende, siempre que consigamos una función exponencial «e» con exponente «x» tendremos de resultado la base «e» elevado al exponente «x».

Es decir, siempre el resultado de «e» elevado a la «x» es «e» elevado a la «x». Dejando esto claro, pasemos a ver algunos ejemplos.

Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de funciones de base e

Para entender como se resuelven las derivadas de funciones de base e resolvemos a continuación algunos ejercicios y ejemplos que faciliten la comprensión:

Ejemplo 1: derivada de e elevado a 3 menos x al cuadrado


f(x)= e^{3-x^2}




 u=3-x^2




 u'=-2x




e ^u = e^{3-x^2}

Sustituimos en la fórmula y obtenemos el resultado.


f'(x)=u'\cdot e^u =-2x\cdot e^{3-x^2}


Ejemplo 2: derivada de e elevado a x más e elevado a menos x partido por 2


 f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Notemos que este caso en particular es una suma de funciones, así que separamos ambas funciones para derivar de forma individual.




 f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2} =\frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2}

Derivamos entonces ambas funciones.






u= x




v = -x






u'= 1




v' = -1






e^u _1 = \frac{e^x}{2}




e^u _2 = \frac{e^{-x}}{2}




f'(x)= u'\cdot e^u_1 + v'\cdot e^u_2 = \frac{1\cdot e^x}{2} + \frac{-1\cdot e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{e^{-x}}{2}= \frac{e^x-e^{-x}}{2}

El resultado lo podemos simplificar y quedaría así:

 


f'(x)=\frac{e^x}{2} + \frac{-e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}


Ejemplo 3: derivada de e elevado a 2x dividido por x al cuadrado Trámites de notarias un USA para hispanos


 f(x)=\frac{ e^{2x}}{x^2}

Tenemos un cociente, es decir una fracción, entonces primero debemos aplicar la fórmula de derivada de una división:


f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}



Derivada de un cociente.




u= e^{2x}


 u'= 2e^{2x}




v=x^{2}


 v'=2x




f'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot x^2 -e^{2x}\cdot 2x}{x^4} 

Aplicamos factorización y simplificamos el resultado a su mínima expresión:


f'(x)=\frac{2x e^{2x}(x -1)}{x^4} = \frac{2 e^{2x}(x -1)}{x^3}




Ejemplo 4: derivada de e elevado a 1 partido de x


 f(x)=e^{ \frac{1}{x}}


 u= \frac{1}{x}= x^{-1}

Si subimos «x» desde el denominador al numerador, el signo de su exponte pasa a negativo. Esto lo hicimos para simplificar los pasos. Ahora procedemos a derivar «u».


 u'= -1x^{-1-1}= -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Sustituimos en la fórmula principal:


 f'(x)=u'\cdot e^u = -\frac{1}{x^2}\cdot e^{ \frac{1}{x}} = -\frac{e^{ \frac{1}{x}}}{x^2}


Ejemplo 5: derivada de x al cubo por e elevado a menos 3x


f(x)=x^3\cdot e^{-3x}

Se trata de un producto de funciones:


f(x)=u\cdot v

Donde:




u= x^{3}


u'= 3x^2 




v=e^{-3x}


 v'= -3e^{-3x} 



Teniendo cada variable y su derivada, procedemos a sustituir.




 f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v' = 3x^2 \cdot e^{-3x} +x^{3} \cdot \left(-3e^{-3x}\right) 



Hacemos factorización y simplificamos el resultado hasta su mínima expresión:


f'(x)=3x^2 e^{-3x} (1-x)

Ejemplo 6: derivada de e elevado a 2x dividido por la raíz cuadrada de x


f(x)=\frac{ e^{2x}}{\sqrt{x}}

Aquí tenemos otra función cociente, así que debemos usar la derivada de un cociente:


f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}




u= e^{2x}


u'= 2e^{2x}




v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}


 v'= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}



Sustituimos y obtenemos:


f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}=\frac{2e^{2x}\cdot \sqrt{x} -e^{2x}\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x} 


f'(x)=\frac{\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2x\sqrt{x}} =\frac{e^{2x}(4x-1)}{2x\sqrt{x}}

Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla completa de derivadas.

¿Cuál es la derivada de e? con Ejemplos y Casos Resueltos

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Para hacer la derivada de la función exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Se trata de una fórmu

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2024-01-01

 

¿Cuál es la derivada de e? con Ejemplos y Casos Resueltos
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