Para hacer la derivada de la función exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Se trata de una fórmula simple de fácil aplicación:
SOLUCIÓN y fórmula de la derivada de una función exponencial de base e
f(x)= e^u
f'(x)=u'\cdot e^u
Cómo hacer la derivada exponencial de base e
Para hacer la derivada exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Es una forma tan simple de derivar que probablemente en dos o tres pasos consigamos el resultado.
No obstante es importante señalar que en este tipo de derivada hay un caso particular, y es el siguiente:
Derivada de e elevado a x
f(x)= e^x
Donde:
u= x
u'=1
e ^u= e^x
Recordemos la fórmula de la derivada de una función exponencial de base «e»:
f'(x)=u'\cdot e^u
Entonces al sustituir nos quedaría:
f'(x)= 1\cdot e^x= e^x
Por ende, siempre que consigamos una función exponencial «e» con exponente «x» tendremos de resultado la base «e» elevado al exponente «x».
Es decir, siempre el resultado de «e» elevado a la «x» es «e» elevado a la «x». Dejando esto claro, pasemos a ver algunos ejemplos.
Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de funciones de base e
Para entender como se resuelven las derivadas de funciones de base e resolvemos a continuación algunos ejercicios y ejemplos que faciliten la comprensión:
Ejemplo 1: derivada de e elevado a 3 menos x al cuadrado
f(x)= e^{3-x^2}u=3-x^2
u'=-2x
e ^u = e^{3-x^2}Sustituimos en la fórmula y obtenemos el resultado.
f'(x)=u'\cdot e^u =-2x\cdot e^{3-x^2}Ejemplo 2: derivada de e elevado a x más e elevado a menos x partido por 2
f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}Notemos que este caso en particular es una suma de funciones, así que separamos ambas funciones para derivar de forma individual.
f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2} =\frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2}Derivamos entonces ambas funciones.
u= x
v = -x
u'= 1
v' = -1
e^u _1 = \frac{e^x}{2}e^u _2 = \frac{e^{-x}}{2}f'(x)= u'\cdot e^u_1 + v'\cdot e^u_2 = \frac{1\cdot e^x}{2} + \frac{-1\cdot e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{e^{-x}}{2}= \frac{e^x-e^{-x}}{2}El resultado lo podemos simplificar y quedaría así:Te recomendamos Diets, plans and health
f'(x)=\frac{e^x}{2} + \frac{-e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}Ejemplo 3: derivada de e elevado a 2x dividido por x al cuadrado
f(x)=\frac{ e^{2x}}{x^2}Tenemos un cociente, es decir una fracción, entonces primero debemos aplicar la fórmula de derivada de una división:
f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}Derivada de un cociente.
u= e^{2x} u'= 2e^{2x}v=x^{2}v'=2x
f'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot x^2 -e^{2x}\cdot 2x}{x^4} Aplicamos factorización y simplificamos el resultado a su mínima expresión:
f'(x)=\frac{2x e^{2x}(x -1)}{x^4} = \frac{2 e^{2x}(x -1)}{x^3}Ejemplo 4: derivada de e elevado a 1 partido de x
f(x)=e^{ \frac{1}{x}} u= \frac{1}{x}= x^{-1}Si subimos «x» desde el denominador al numerador, el signo de su exponte pasa a negativo. Esto lo hicimos para simplificar los pasos. Ahora procedemos a derivar «u».
u'= -1x^{-1-1}= -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}Sustituimos en la fórmula principal:
f'(x)=u'\cdot e^u = -\frac{1}{x^2}\cdot e^{ \frac{1}{x}} = -\frac{e^{ \frac{1}{x}}}{x^2}Ejemplo 5: derivada de x al cubo por e elevado a menos 3x
f(x)=x^3\cdot e^{-3x}Se trata de un producto de funciones:
f(x)=u\cdot v
Donde:
u= x^{3}u'= 3x^2
v=e^{-3x} v'= -3e^{-3x} Teniendo cada variable y su derivada, procedemos a sustituir.
f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v' = 3x^2 \cdot e^{-3x} +x^{3} \cdot \left(-3e^{-3x}\right) Hacemos factorización y simplificamos el resultado hasta su mínima expresión:
f'(x)=3x^2 e^{-3x} (1-x)Ejemplo 6: derivada de e elevado a 2x dividido por la raíz cuadrada de x
f(x)=\frac{ e^{2x}}{\sqrt{x}}Aquí tenemos otra función cociente, así que debemos usar la derivada de un cociente:
f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}u= e^{2x}u'= 2e^{2x}v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} v'= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}Sustituimos y obtenemos:
f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}=\frac{2e^{2x}\cdot \sqrt{x} -e^{2x}\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x} f'(x)=\frac{\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2x\sqrt{x}} =\frac{e^{2x}(4x-1)}{2x\sqrt{x}}Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla completa de derivadas.
¿Cuál es la derivada de e? con Ejemplos y Casos Resueltos
Para hacer la derivada de la función exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Se trata de una fórmu
cursosgratis
es
2025-04-11
Si crees que alguno de los contenidos (texto, imagenes o multimedia) en esta página infringe tus derechos relativos a propiedad intelectual, marcas registradas o cualquier otro de tus derechos, por favor ponte en contacto con nosotros en el mail [email protected] y retiraremos este contenido inmediatamente